Методика использования визуальных моделей при обучении решению задач на движение

Задача 7.

Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу отправились велосипедист и пешеход. Велосипедист в пункте В повернул назад и через час после начала движения встретил пешехода. Доехав до А, снова повернул назад и встретил пешехода через 40 минут после первой встречи. Определить время, затраченное пешеходом на весь путь.

Так как в условиях не дана ни одна величина размерности длины, то весь путь можно принять за единицу. Обозначим через скорость пешехода, через – скорость велосипедиста. Приведем для наглядности иллюстрацию (рис. 7), но в этой задаче она будет играть вспомогательную роль. Составим уравнения, используя при этом графическую модель. За час, прошедший до первой встречи, пешеход и велосипедист вместе прошли удвоенный путь от А до В, что непосредственно видно из иллюстрации, поэтому . За часа до второй встречи велосипедист прошел на удвоенный путь больше, чем пешеход, поэтому

.

Решая систему

,

получаем . Это означает, что за час пешеход проходит 0,4 всего пути, а на весь путь он затратит 2,5 часа.

В данной задаче нам требуется найти длину отрезка AD. Она не выражается из подобия или равенства треугольников, но, как видно, имеет определенное значение. Все уравнения, полученные в ходе решения задачи, не являются следствиями каких-либо геометрических соображений, но имеющаяся в графической модели информация наглядно иллюстрирует логику построения математической модели данной задачи. Таким образом, графическая модель отвечает на вопросы: что дано и что требуется найти? Она помогает переформулировать вопросы так, что от них непосредственно можно перейти к уравнению, например, из того факта, что велосипедист и пешеход первый раз встретились через час после начала движения, с помощью иллюстрации достаточно просто получить, что к моменту первой встречи они вместе прошли удвоенный путь, что непосредственно приводит к уравнению.

В задачах второго типа ориентировочная основа действий менее содержательна по сравнению с ней для задач первого типа. Тем не менее, умения строить графическую модель, интерпретировать ее, формулировать факты, заложенные в ней в виде, удобном для составления уравнений, являются основополагающими для успешного решения и достигаются в процессе решения системы задач [12, 15].

Как показывает опытное преподавание, использование данного способа визуализации для обучения решению задач на прямолинейное равномерное движение, является эффективным средством. Его эффективность обуславливается следующими причинами: данный способ естественно приводит к математической модели, данный способ отражает структуру задачи, соответствует формуле наглядности, данной Болтянским. Поясним приведенные аргументы. Естественность получения математической модели заключается в том, что мы получаем её непосредственно из графической модели. Например, во втором способе решения задачи 6 непонятно, почему мы вводим в качестве переменных скорости движения пешеходов, почему рассматриваем именно равенства 1) и 2), и, наконец, деление одного равенства на другое является также достаточно искусственным шагом, в то время как из графической модели уравнение следует естественным образом. Данный способ визуализации отражает структуру задачи, т.е. взаимосвязи между данными задачи, это помогает увидеть общее в разных, на первый взгляд, задачах, что, в свою очередь, формирует представление о математическом моделировании в целом.