Методика применения визуальных моделей при обучении решению задач с параметрами

При работе с моделями нужно подобрать задания, двигаясь при этом от простого к сложному. С предыдущих этапов ученики знают, как зависит положение движущейся прямой от значений параметра, умеют интерпретировать информацию, содержащуюся в модели. Им можно показать решение задачи с параметром и общий метод рассуждения для подобных заданий.

Найти число корней уравнения в зависимости от параметра а.

Построим график функции (предполагается, что ученики владеют приемами построения графиков подобных функций), и построим условно график уравнения y = a, причем для a < 0. Мы видим (рис. 8), что при этих значениях параметра а два графика не пересекаются. Двигая прямую вдоль оси ординат вверх параллельно самой себе, получим, что при a = 0 уравнение имеет два корня, при уравнение имеет четыре корня, при a = 4 – три корня и при a > 4 – два корня.

Далее нужно рассказать об общем виде заданий с параметрами, для которых применим данный метод. Если уравнение имеет другой вид, то его нужно преобразовать (если это возможно). Далее следует привести систему заданий, в которой будет усложняться условия: требуется преобразовать выражение к нужному виду; усложняется функция, которую надо строить; выбираются из различных промежутков значения для х и т.д.

Метод «Вращающаяся прямая».

Данный метод позволяет решать всевозможные задачи с параметрами, которые заданы в виде (или преобразованы к нему) f(x) = aх. Метод основывается на том, что параметрическое уравнение y = ax задает множество всех прямых, проходящих через начало координат.

Так как данный метод предполагает использование свойств линейной функции, то на подготовительном этапе нужно актуализировать знания об этих свойствах, подвести к графической модели параметрического уравнения y = ax. Для этого нужно проделать работу по построению графиков линейных уравнений, по нахождению коэффициентов из графика, по составлению уравнений из графиков [6]. Кроме того, нужно актуализировать знания о касательной, ответить на вопрос: при каком k график функции y=kx+b будет касательной для данной функции f(x), здесь k и b имеют конкретные числовые значения, найти геометрические образы решений уравнения f(x) = kx+b. Всё это реализуется через систему задач.

Этап обучения моделированию нужно начать с обобщения свойств линейной функции на случай произвольных коэффициентов. Опираясь на результаты предыдущего этапа можно сделать естественный переход от конкретного задания функции к параметрическому. Например, поставив вопрос: можем ли мы для данной линейной функции y=kx+b, где b фиксирован, так подобрать значения для k, чтобы график имел любой наперед заданный угол наклона (проходил через любую точку окружности с центром (0; b))? После этого нужно остановиться на геометрической модели параметрически заданной линейной функции y=аx. Далее этап обучения моделированию переходит в этап обучения работы с моделями.

Этот этап нужно начать с разбора простых задач, указав признаки, по которым мы применяем именно данный метод.

В зависимости от значений параметра a найти количество корней уравнения .

Данное выражение можно преобразовать к виду, для которого применим метод «движущаяся прямая». Так как не является решением данного уравнения, то его можно преобразовать к виду , но для ответа на вопрос нам потребуется построить график функции , что является достаточно трудной задачей, по сравнению с построением графика функции . Изученные свойства линейной функции позволяют нам пользоваться только последним построением. Построим в системе координат график функции . При каких значениях параметра мы получим прямые параллельные ветвям графика функции ? Построим графики линейной функции для значений параметра 1 и –1 (рис. 9). Из рисунка видно, что если график функции y=аx находится между лучами, лежащими выше оси абсцисс, то уравнение имеет одно решение, если между осью абсцисс и графиком функции y = –x – два решения, и если лежит вне указанных областей, то решений не имеет. Укажите значения параметра для названных областей.