Методика применения визуальных моделей при обучении решению задач с параметрами

Использование свойств функции.

Данный метод заключается в обобщении свойств графиков функций на случай параметра. Ученики владеют методами построения функций методом сдвига вверх и вниз, влево и вправо, сжатия и растяжения. Рассмотрение этих методов в случае параметрического задания функции дает эффективный способ решения задач с параметрами. Если выражение в задании с параметром не удается привести к виду, в котором его можно решить методами, изложенными выше, то можно прибегнуть к данному методу, еще его можно применить, в случае если полученное с его помощью решение будет более рациональным, чем решение, полученное иными методами.

Подготовительный этап в обучении данному методу предполагает актуализацию знаний по построению графиков функций указанными выше способами и подведению к использованию данных способов на случай параметра. Ученики должны выполнить задания с построением функций с помощью указанных преобразований, а так же задания преобразовать графически заданную функцию f(x) на случай f(ax), f(xa), f(ax),где a и b конкретные числа. Полезно рассмотреть одну и ту же функцию для разных числовых значений, так как получившийся результат можно будет обобщить.

Этап обучения моделированию можно реализовать, опираясь на разобранный метод «вращающаяся прямая», ссылаясь на то, что метод построения графической модели параметрического уравнения y=аx лишь частный случай, опирающийся на рассмотренные ранее приёмы построения графиков, для линейной функции. Если мы имеем функции вида f(ax), f(xa), f(ax),где a и b параметры, то графической моделью будет множество графиков, получающихся их графика функции y=f(x) при помощи соответствующих преобразований. На данном этапе нужно привести серию заданий, обыгрывающих разные ситуации по построению указанных выше графических моделей функций с параметром.

Постройте в системе координат графические модели, задаваемые следующими условиями: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

После выполнения данной системы заданий, нужно перейти непосредственно к применению графических моделей для решения заданий с параметрами. Так же как и в предыдущих методах, начав с простых задач.

Найдите значение параметра, при каждом из которых имеет хотя бы одно отрицательное решение неравенство .

Данное неравенство можно решить, применив метод «неизвестное-параметр», но для того, чтобы выразить через , потребуется раскрыть модуль и рассмотреть два случая. Воспользуемся другим способом. Перепишем исходное неравенство в виде . Графиком левой части является парабола с вершиной в точке (0; 3), ветви которой направлены вниз. Графиком правой части является «прямой угол», вершина которого имеет координаты (0; а). В зависимости от значений параметра а этот «угол» перемещается вдоль оси абсцисс (рис. 11). Исходное неравенство имеет отрицательное решение, если найдется такое отрицательное значение переменной x, для которой соответствующая точка параболы расположена выше точки на «угле». Таких точек нет если вершина «угла» оказалась правее точки с абсциссой 3 или левее точки с абсциссой (точки вычисляются аналитически).