Методика применения визуальных моделей при обучении решению задач с параметрами

Если выражение имеет вид, который позволяет решить задачу с параметром методом «вращающаяся прямая», то его достаточно просто преобразовать к виду, который позволяет нам решить данную задачу метолом «движущаяся прямая». Для этого достаточно поделить левую и правую часть выражения на х, следя при этом за равносильностью преобразований. Этот момент должен быть рассмотрен при решении задач для формирования умений находить более рациональный путь в том или ином задании. Относительная простота построения графика функции в случае решения методом «вращающаяся прямая» компенсируется более трудным получением ответа из графической модели, так как иногда для его получения требуется переходить к уравнению, используя производную, рассматривать характер монотонности функции, производить относительно трудные сопутствующие вычисления. Проще и нагляднее в этом отношении пользоваться методом «движущаяся прямая» и, если построение функции – не слишком трудная задача, то, скорее всего, этот метод является более рациональным. Для формирования умения выбирать более рациональный путь нужно дать задание решить обоими способами задачу с параметром. Для формирования и закрепления умений и навыков работы с графическими моделями при решении задач с параметрами нужно постепенно переходить к более сложным заданиям, в которых варьируются значения независимой переменной, условия заданий и увеличивается арсенал требующихся аналитических методов.

Метод «неизвестное-параметр».

При решении задач данным методом параметр объявляется переменной. В системе координат строится множество точек, которое задает уравнение или система уравнений, при помощи этого построения находятся требуемые значения параметра. В основе данного метода лежит так называемый метод областей – построение множества точек плоскости, которое задает данное уравнение с двумя переменными или система уравнений. Метод областей можно в некотором смысле назвать обобщением метода интервалов на случай уравнений с двумя переменными. Овладеть методом областей – значит уметь строить множества точек, задаваемые уравнениями в системе координат, а это умение предполагает в свою очередь умения построения графиков функций и решения простейших неравенств с двумя переменными.

Подготовительная работа в данном случае представляет собой обучение методу областей. Обучение нужно начать с построения множеств точек, которые являются решениями простейших неравенств. Это связанно с тем, что решение более сложных неравенств сводится к решению простейших. Кроме того, на их примере можно наглядно продемонстрировать алгоритм построения множеств и обосновать его, проведя аналогию с методом интервалов.

Построить в координатной плоскости множество точек удовлетворяющих неравенству .

Преобразуем данное неравенство к виду . Построим в системе координат прямую . Данная прямая разбивает плоскость на две области. Какая-то из этих областей будет искомым множеством точек. Для того, чтобы её определить, нужно, как и в методе интервалов, подставить точку с области и посмотреть удовлетворяет ли она неравенству. Отличие от метода интервалов состоит в том, что точка имеет две координаты: их и нужно подставлять вместо переменных. Та область, точка которой удовлетворяет неравенству и будет искомым множеством точек. В данном случае это будет полуплоскость лежащая выше прямой. Так как неравенство нестрогое, то прямая сама принадлежит искомому множеству.

Далее нужно построить множество для системы неравенств. Лучше сделать это, дополнив уже рассмотренное неравенство до системы, добавив линейное неравенство.