Обзор подходов к изучению свойств функций в девятилетней школе

В школьном курсе алгебры, начиная с VII класса, центральное место занимает функциональная линия, т.е. идет изучение понятия функции, свойств элементарных функций, построение графиков.

Большое образовательное и воспитательное значение имеет овладение учащимися понятием функция. Наличие прочной функциональной основы позволит учащимся осмыслить большой класс явлений, встречающихся в теории и практике, будет содействовать воспитанию диалектического мышления. Изучение функций дает возможность наглядно показать учащимся применимость математического аппарата к изучению различных явлений, встречающихся в практической жизни, науке и технике. Например, линейная функция с точки зрения моделирования реальных процессов соответствует равномерным процессам, квадратичная функция – моделирует равноускоренные процессы.

Систематическое использование функционального материала в курсе открывает учащимся возможность видеть внутренние связи между понятием функции и другими понятиями курса, содействует овладению алгебраическими знаниями. Так, свойство функции сохранять знак на данном промежутке или быть равной нулю важно для понимания решения многих уравнений и неравенств, в частности при графическом решении. Свойство функции быть возрастающей или убывающей на рассматриваемом промежутке используется при решении уравнений и неравенств и других задач.

Весь материал раздела «Элементарные функции» в курсе алгебры можно разделить на две части – изучение общих сведений о функциях и изучение свойств некоторых конкретных видов функций.

В первую часть, наряду с понятием функции, в курсе вводятся и связанные с ним понятия – аргумент, область определения и область значений функции, график функции. Учащиеся знакомятся со способами задания функций – формулой, таблицей, графиком. Вводятся такие важные понятия, как возрастание и убывание функции, рассматриваются промежутки знакопостоянства, вводятся понятия четной и нечетной функции.

Общие сведения о функциях находят применение при рассмотрении конкретных видов функций. Изучаются свойства таких функций, как прямая и обратная пропорциональность, линейная функция, квадратичная функция, функция у=Öх, функция у=хn, где n – натуральное число.

При изучении свойств функции исходной является работа с формулой, задающей функцию. Используя формулу, учащиеся по значению аргумента находят соответствующее значение функции и решают обратную задачу: определяют те значения аргумента, при которых функция принимает заданное значение. Формула позволяет находить, при каких значениях аргумента функция обращается в нуль, принимает положительные и отрицательные значения. На основе формулы определяется, обладает ли функция свойством четности или нечетности, исследуется вопрос о возрастании и убывании функции.

Особую роль при рассмотрении свойств функций играет использование графических представлений. Одна из важнейших задач изучения функционального материала состоит в формировании умения «читать» график: находить значение функции по заданному значению аргумента; находить, при каких значениях аргумента функция принимает указанное значение; определять промежутки знакопостоянства, а также промежутки возрастания или убывания функции. При изучении конкретных функций график является опорным образом для выяснения свойств функции, которые затем доказываются аналитически. В то же время обращение к аналитическим доказательствам используется для уточнения суждения о виде графика.

Переходя постепенно от первоначально индуктивного изложения материала (который присущ курсу алгебры 7 класса) к дедуктивному (в курсах 8-9 классов), учащиеся приобщаются к аналитическим методам исследования функций. Достижению этих целей содействует как рассмотрение теоретического материала, так и решение упражнений.