Обзор подходов к изучению свойств функций в девятилетней школе

Учебник алгебры А.Г. Мордковича

В 7 классе рассматриваются функции: у = кх + в, у = кх, у = х2. На описательном, наглядно-интуитивном уровнях вводятся такие понятия, как область определения функции, непрерывность функции, наибольшее и наименьшее значения функции, возрастание и убывание.

Область определения функции – это те значения х, для которых можно вычислить значение функции;

Наибольшее (наименьшее) значение функции – самая большая (меньшая) ордината из точек;

Функция возрастающая (убывающая) – если график функции на рассматриваемом промежутке идет слева направо, как бы «в горку» («под горку»).

Эти свойства считываются с графика функций. Данные понятия постепенно формируются с помощью кусочных функций, которые рассматриваются на определенных промежутках.

В 8 классе идет изучение следующих функций: у = ах2 + вх + с, у = к\х, у = Öх. Проводится изучение новых свойств – ограниченность функции, область значений функций.

Свойство ограниченности функции вводится при рассмотрении функции у = кх2. Функцию у = f(х) называют ограниченной снизу (сверху), если все значения функции больше (меньше) некоторого числа.

«Область значений» вводится при изучении функции у = Öх. Множество всех значений функции называют обычно областью значений функции.

Также рассматриваются свойства, изученные в 7 классе, причем некоторые свойства изучаются на более высоком уровне: на рабочем или формальном уровне. Такие свойства как область определения функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, область значений функций изучаются на рабочем уровне – на уровне словесного описания.

Дается точное определение свойству возрастания и убывания функции, т.е. данное свойство изучается на формальном уровне. Функцию у = f(х) называют возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

В 9 классе идет рассмотрение числовых (степенных) функций. Вводится новое свойство – четность функции. Все свойства изучаются на формальном уровне, т.е. дается четкая формулировка того или иного свойства функции. Причем свойства функции считываются с графика функции в определенном порядке: область определения функции, четность, монотонность, ограниченность, наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывность, область значений, выпуклость.

Подход II. В основной школе не вводятся точные определения свойств функций, свойства изучаются на наглядно-интуитивном уровне. Точные формулировки свойств функций даются в старшей школе.

Данный подход был реализован в учебнике алгебры 6 - 8 А.Н. Барсукова (1967 г.).

В 8 классе рассматриваются функции: у = кх, у = х3; графики функции у = х2 + n, у = (х + m)2, у = 3Öх; график трехчлена у = х2 + px + q, график трехчлена у = х2 + px + q.